Números Complexos

O que é um número complexo?

Note que as raízes da equação do segundo grau ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0, são:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ , isto é,

$x_{1}=\frac{-b\;+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ e $x_{2}=\frac{-b\;-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ .

b² - 4ac é chamado discriminante (ou determinante) da equação do segundo grau.

Exemplos:

1) Encontre as raízes da equação x² - 5x + 6 = 0.

Note que a = 1, b = -5 e c = 6. Logo,

$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}$

$x_{1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$

$x_{2}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2$

2) Encontre as raízes da equação x² - 6x + 13 = 0.

Note que a = 1, b = -6 e c = 13. Logo,

A equação não possui, portanto, raízes reais.

Contextualização

Os números complexos desempenham um papel crucial em diversas áreas da ciência e da tecnologia, como física, engenharia elétrica e matemática aplicada. Apesar de sua importância, seu estudo no ensino médio brasileiro não é obrigatório de acordo com a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), o que acaba limitando o contato dos estudantes com esse conceito tão poderoso. No entanto, a inclusão dos números complexos nessa fase educacional pode trazer benefícios significativos, tanto no desenvolvimento lógico-matemático quanto na preparação para desafios acadêmicos e profissionais futuros.

Do ponto de vista matemático, os números complexos formam um corpo – uma estrutura algébrica que estende os números reais e possibilita operações como soma, multiplicação, divisão e subtração de maneira mais completa. Essa característica faz dos números complexos uma ferramenta essencial para a solução de equações que não possuem soluções no conjunto dos números reais, ampliando o escopo de aplicação de conceitos matemáticos tradicionais. Além disso, sua aplicação direta em áreas como a física, especialmente em eletromagnetismo e circuitos elétricos, evidencia a relevância prática desses números além da sala de aula.

A Fórmula de Cardano

Existe alguma fórmula para encontrar raízes de equações de terceiro grau?

ax³ + bx² + cx + d = 0, a ≠ 0.

Dividamos toda a equação por a:

$x^{3}+\frac{b}{a}x^{2}+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$

Façamos a seguinte mudança de variável: $x=w-\frac{b}{3a}$ , assim:

$\left(w-\frac{b}{3a}\right)^{3}+\frac{b}{a}\left(w-\frac{b}{3a}\right)^{2}+\frac{c}{a}\left(w-\frac{b}{3a}\right)+\frac{d}{a}=0$

Desenvolvendo os termos cubo e quadrado, temos:

$w^{3}-3w^{2}\frac{b}{3a}+3w\left(\frac{b}{3a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{3a}\right)^{3}+\frac{b}{a}\left(w^{2}-2w\frac{b}{3a}+\left(\frac{b}{3a}\right)^{2}\right)+\frac{c}{a}w-\frac{cb}{3a^{2}}+\frac{d}{a}=0$

Desenvolvendo ainda mais, teremos:

$w^{3}-3w^{2}\frac{b}{3a}+3w\frac{b^{2}}{9a^{2}}-\frac{b^{3}}{27a^{3}}+\frac{b}{a}w^{2}-2w\frac{b^{2}}{3a^{2}}+\frac{b^{3}}{9a^{3}}+\frac{c}{a}w-\frac{cb}{3a^{2}}+\frac{d}{a}=0$

Simplificando os numeradores e denominadores:

$w^{3}-w^{2}\frac{b}{a}+w\frac{b^{2}}{3a^{2}}-\frac{b^{3}}{27a^{3}}+\frac{b}{a}w^{2}-2w\frac{b^{2}}{3a^{2}}+\frac{b^{3}}{9a^{3}}+\frac{c}{a}w-\frac{cb}{3a^{2}}+\frac{d}{a}=0$

Simplificando, chegaremos a: