Capítulo 9 - Progressões

 Neste capítulo, você será capaz de:

• Classificar uma P.A.;
• Determinar o termo geral de uma P.A.;
• Somar os n primeiros termos de uma P.A.;
• Relacionar uma P.A. com uma função afim;
• Classificar uma P.G.;
• Determinar o termo geral de uma P.G.;
• Somar o n primeiros termos de uma P.G.;
• Somar os termos de uma P.G. infinita.;
• Relacionar uma P.G. com uma função exponencial.

1.0 Progressão aritmética 

É uma sequência em que a cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior a uma constante. Essa constante recebe o nome de razão da P.A. e é indicada por r.

1.1 Classificação

• Se r > 0, a P.A. é crescente;
• Se r < 0, a P.A. é decrescente;
• Se r = 0, a P.A. é constante.

1.2 Termo geral da P.A.

Vamos escrever uma expressão que nos permita encontrar qualquer termo da P.A. sabendo apenas do primeiro termo e da razão:

Seja uma P.A.  de razão r. Temos:

1.3 Soma dos n primeiros termos de uma P.A.

Acredita-se que Carl Friedrich Gauss tenha desenvolvido o seguinte pensamento quando lhe foi perguntado qual era a soma (1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100) aos seus 9 anos de idade:

Seja S a soma: (1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100)

Podemos generalizar para a seguinte expressão:

2.0 Progressão geométrica

É uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior multiplicado por uma constante real. Essa constante recebe o nome de razão da P.G. e é indicada pela letra q.

2.1 Termo geral da P.G.

Vamos escrever uma expressão que nos permita obter qualquer termo da P.G. conhecendo apenas o primeiro termo (a1) e a razão (q).

Seja  uma P.G. Da definição, temos:

2.2 Soma dos n primeiros termos de uma P.G.

Seja  uma P.G. Queremos uma expressão para a soma de seus n primeiros termos, ou seja:

     (*)

Multiplicando por q (q ≠ 0) a expressão acima, temos:

    (**)

Fazendo (**) - (*), teremos: