[Vol. 2] Capítulo 2 - Razões Trigonométricas na circunferência

 Neste capítulo, você será capaz de:

• definir seno;
• definir cosseno;
• relacionar seno e cosseno;
• definir tangente;
• relacionar seno, cosseno e tangente.

1.0 Seno

    Seja P um ponto da circunferência imagem de um número real α, tal que 0 ≤  α ≤ 2π. Definimos o seno de α como a ordenada do ponto P:

    Observe que, projetando ortogonalmente (fazendo 90°) o ponto P sobre o eixo vertical, obtemos o ponto P'. Considerando o sentido positivo (para cima) do eixo vertical e tomando o segmento , podemos também definir o seno de α como a medida algébrica desse segmento, isto é, 

Seno = med()

    De agora em diante, chamaremos o eixo vertical de eixo dos senos.

    O mesmo processo é utilizado quando temos ângulos nos demais quadrantes, observe como varia o sinal do seno à medida que α varia nos quadrantes:

1.1 Valores notáveis

    Já conhecemos os valores notáveis do seno, são eles:

    Por simetria (visto no capítulo anterior), podemos obter o seno de outros ângulos com base, por exemplo, no seno de 30°. Observe: 

    Perceba que descobrimos o valor do seno de um ângulo comparando-o com o seno conhecido de um outro ângulo (30°), cuja imagem pertence ao primeiro quadrante. Esse processo é conhecido como redução ao primeiro quadrante.

Também podemos obter o seno de números reais cujas imagens coincidem com os pontos de interseção da circunferência trigonométrica com os eixos coordenados:

1.2 Exercícios resolvidos

2.0 Cosseno

 Seja P um ponto da circunferência imagem de um número real α, tal que 0 ≤  α ≤ 2π. Definimos o cosseno de α como a abscissa do ponto P:

    Observe que, projetando ortogonalmente (fazendo 90°) o ponto P sobre o eixo horizontal, obtemos o ponto P'. Considerando o sentido positivo (para direita) do eixo horizontal e tomando o segmento , podemos também definir o cosseno de α como a medida algébrica desse segmento, isto é, 

De agora em diante, chamaremos o eixo horizontal de eixos dos cossenos.

O mesmo processo é utilizado quando temos ângulos nos demais quadrantes, observe como varia o sinal do cosseno à medida que α varia nos quadrantes:

Observe que o cosseno de um arco qualquer, na circunferência trigonométrica, varia entre -1 e 1 (o mesmo acontece com o seno), isto é, -1 ≤ cos(α) ≤ 1.

2.1 Valores notáveis

Basta utilizar-se da simetria e dos valores dos ângulos notáveis para obter o cosseno de alguns outros números reais. Exemplo:

Também podemos obter o cosseno de números reais cujas imagens coincidem com os pontos de interseção da circunferência trigonométrica com os eixos coordenados:

2.2 Exercícios resolvidos

3.0 Relação entre seno e cosseno

• Relação fundamental da trigonometria

    Seja  um arco do primeiro quadrante tal que   , então pode-se formar um triângulo retângulo cuja hipotenusa vale 1 (coincide com o raio da circunferência trigonométrica):

Triângulo formado:

Aplicando o teorema de Pitágoras:

• Arcos complementares

    Seja  x ∈ R, com 0 < x < π/2. Na figura abaixo, P é a imagem do número real x (ou arco de medida x radianos), e Q é imagem do número real (π/2 - x).

    Temos: 

Observe que:

med(PÔP') = med(QÔQ')

OP = OQ =1 (raio)

Conclui-se que os triângulos destacados são congruentes. Portanto:

PP' = QQ' => sen x = cos (π/2 - x) e

OP' = OQ' => cos x = sen (π/2 - x).

4.0 Tangente

    Para definirmos a tangente de um número real α, vamos acrescentar um terceiro eixo à circunferência trigonométrica. Esse novo eixo, chamado eixo das tangentes, faz 90° com o eixo horizontal (eixo dos cossenos) e passa pelo ponto A. 

    Seja P um ponto da circunferência imagem de um número real α, tal que α ≠ π/2 e α ≠ 3π/2. Prolongamos a reta OP até intersectar o eixo das tangentes no ponto T. O comprimento AT, ou seja, med(AT) é a tangente de α.

Observe como a tangente varia nos demais quadrantes 

OBS:

4.1 Valores notáveis

Já conhecemos os valores das tangentes de 30°, 45° e 60°. Vejamos esses valores na figura abaixo:

5.0 Relação entre seno, cosseno e tangente

Seja α um número real, com    com . Supondo α distinto de 0, π e 2π. O número real α tem imagem em P, extremidade do arco de α rad.

Observando a figura, temos que 

• OP' = cos α;
• OP" = PP' = sen α;
• AT = tg α;
• OP = 1 (raio).

Os triângulos OP'P são semelhantes. Eis a semelhança de triângulos:

Se α pertencer a qualquer outro quadrante, o processo é essencialmente o mesmo. Salvo os casos em que o cos (α) = 0. Nestes, não está definida a tg (α), pois não dividiremos por zero.