[Vol. 1] Capítulo 02 - Função afim

1.0 Definição de função

Dados dois conjuntos não vazios, A e B, uma função de A em B é uma relação que associa cada elemento x de A a um único elemento y de B.

Notação: $https://latex.codecogs.com/svg.image?f:A\to B$ (lê-se: f de A em B)

A função F transforma x de A em y de B, que pode ser escrita como y = f(x).

Exemplos

2.0 Domínio, contradomínio e conjunto imagem de uma função

Vejamos o diagrama que representa a função f: A → B, definida por f(x) = x + 5

Conjunto domínio ou simplesmente domínio: conjunto A. É o conjunto de todos os elementos x de A. Indicado por D(f).
Conjunto contradomínio ou simplesmente contradomínio: conjunto B. É o conjunto de todos os elementos y de B. Indicado por CD(f).
Conjunto imagem ou simplesmente imagem: É o conjunto de todos os y de B que têm correspondente em A. Indicado por Im(f).

De acordo com diagrama, temos:

D(f) = {0, 5, 15}
CD(f) = {0, 5, 10 ,15, 20, 25}
Im(f) = {5, 10, 20}

Note que Im(f) é subconjunto de CD(f)

2.1 Estudo do domínio de uma função real

Uma função em que o domínio e o contradomínio são subconjuntos de R é chamada função real de variável real.

Exemplos:

E quando não se explicita o domínio nem o contradomínio?

2.2 Atividades resolvidas

Exercícios

3.0 Gráfico de uma função

O eixo horizontal (eixo x) é denominado eixo das abscissas, e o eixo vertical (eixo y) é denominado eixo das ordenadas. Esses eixos dividem o plano em quatro regiões, chamadas de quadrantes, como indicado na figura. O ponto P representado nessa figura tem coordenadas cartesianas x1 e y1, números reais que formam o par ordenado (x1, y1). Indicamos assim: P(x1, y1).

O número real a é a abscissa do

3.1 Construção de gráficos

Em geral, atribui-se um valor para x. Esse valor deve ser colocado na função. A função entrega um valor para y. Anota-se essas duas coordenadas (x, y). Toma-se outro valor para x, coloca-se na função e esta entrega um valor para y. Anota-se as duas coordenadas (x, y).

Quantas vezes são necessárias fazer isso para se ter um gráfico de uma função afim? Bastam duas, ou seja, dois valores para x, que a função nos entregará dois valores para y. Depois, marcamos no plano cartesiano essas coordenadas, teremos os pontos, ligamos os pontos por meio de uma reta.

Exemplo: Esboce o gráfico de f(x) = x + 1

Resolução:

Tomemos dois valores para x:

x = 0 e x = 5.

x	y = x + 1	y
0	y = 0 + 1	1
5	y = 5 + 1	6

Ou seja, quando x é igual a 0, y é igual a 1, chamaremos esse primeiro ponto de ponto A, tal que A(0, 1). Quando x é igual a 5, y é igual a 6, chamaremos esse segundo ponto de ponto B, tal que B(5, 6). Vamos marcar isso no plano cartesiano:

Basta ligar os dois pontos:

4.0 Função afim

Em uma função afim dada por f(x) = ax + b, os números reais a e b são chamados coeficientes. (a é o coeficiente angular; b é o coeficiente linear)

Observações:

Seja a função f(x) = 3x + 5. Diremos que f(2) é a imagem de 2 pela função f, ou seja, f(2) = 3.2 + 5, então f(2) = 11, ou ainda y = 11. "A imagem de 2 é 6.

4.1 Função constante

A função constante associa cada valor x pertencente ao domínio sempre a uma mesma imagem, ou seja, não importa o valor de x, o valor de y sempre será o mesmo.

Ex.: f(x) = 12

Exercícios

4.2 Zero da função de 1º grau

Basta igualar a função a zero.

Ex.: Determine o zero da função f(x) = 11x - 44

11x - 44 = 0

11x = 44

x = 44/11

x = 4

4 é o zero da função f(x) = 11x - 44

4.3 Taxa de variação

Ou seja, se pegarmos a função genérica f(x) = ax + b, teremos:

f(x1) = a(x1) + b

f(x2) = a(x2) + b

Logo,

Portanto, o coeficiente linear (a) é também chamado de taxa de variação de uma função afim (ou função de 1º grau):

Ademais, o coeficiente linear (b), ou também chamado termo independente, é o ponto de interseção do gráfico da função com o eixo y.

Ex.:

4.4 Atividades resolvidas

4.5 Exercícios

4.6 Crescimento e decrescimento de funções de 1º grau

Uma função qualquer, em um intervalo [a, b], segue a seguinte orientação:

No caso das funções de primeiro grau, especificamente, elas serão crescentes se o coeficiente angular for positivo (a > 0) ou decrescente se for negativo (a < 0).

Ex.: