[Vol. 2] Cap. 04 Progressões

 1.0 Sequências 

a) Os dias da semana: domingo, segunda-feira, terça-feira, ..., sábado.

b) Os meses do ano: janeiro, fevereiro, março, ..., dezembro.

c) O ano de ocorrência dos Jogos Olímpicos da Era Moderna: 1896, 1900, 1904, 1908, ..., 2012, 2016, ...

Cada elemento que compõe uma sequência é chamado termo da sequência.

Cada termo de uma sequência pode ser representado por uma letra acompanhada de um índice, que informa a posição ou a ordem desse termo na sequência. Por exemplo, considerando a sequência de Fibonacci, temos:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

• a1 = 1 é o primeiro termo ou o termo de ordem 1;

• a2 = 1 é o segundo termo ou o termo de ordem 2;

• a3 = 2 é o terceiro termo ou o termo de ordem 3;

• a4 = 3 é o quarto termo ou o termo de ordem 4; e assim por diante.

Podemos representar genericamente uma sequência da seguinte maneira: 

(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7 , ..., an -1, an, an + 1, ...)

2.0 Progressão aritmética 

Ex.: Mariana replantou uma muda de árvore que estava com 60 cm de altura. Para estudar seu crescimento, ela mediu e anotou a altura da planta nos cinco meses seguintes. Veja as medidas obtidas:

Sequência numérica: (60, 96, 132, 168, 204, 240). Uma Progressão Aritmética.

2.1 Definição

É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido pela adição do termo anterior a uma constante r, chamada de razão da progressão.

• se r > 0, a PA é chamada de crescente;

• se r < 0, a PA é chamada de decrescente;

• se r = 0, a PA é chamada de constante.

Numa P.A. genérica, temos:

Ex.:

2.2 Termo Geral de uma P.A

2.3 Soma dos n primeiros termos de uma P.A.

Reza a lenda que aos nove anos de idade, a Carl Friedrich Gauss foi proposta a seguinte soma por sua professora: 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100. Ele, então, somou os extremos: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, .... Percebeu que havia 50 parcelas de 101, portanto, 50x101 = 5050. Podemos escrever da seguinte maneira: 

2.4 P.A. e função afim

2.5 Atividades resolvidas

Exercícios

2.5 Progressão Geométrica

2.5.1 Introdução

    Um mercado resolveu organizar as caixas de um produto no formato de pirâmide com 6 patamares, obedecendo a determinado critério. O primeiro patamar (o mais alto) continha 4 caixas e os demais, o dobro de caixas do patamar anterior. Veja a quantidade de caixas nos patamares formados.

2.5.2 Definição

É toda sequência de números não nulos em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante chamada de razão (q) da progressão.

Representação de uma P.G. genérica: a1, a2, a3, ..., an-1, an, an+1.

Temos que a2 = a1.q, logo, q = a2/a1.

a3=a2.q, logo, q = a3/a2.

De modo geral, q = an/an-1

2.5.3 Classificação

Crescente: 

 em que a1 > 0 e q> 0;

 em que a1 < 0 e 0 < q <1;

Decrescente:

 em que a1 > 0 e 0 < q < 1;

em que a1 < 0 e q > 1

Oscilante:

 em que a1 ≠ 0 e q < 0

Constante:

em que q = 0

2.5.4 Termo geral de uma P.G

2.5.5 Soma dos termos de uma P.G. finita

Seja a1, a2, 13, ..., an uma P.G. finita de razão q.

1º CASO

Se q = 1, a P.G. é constante. A soma dos seus termos se dá por

Sn = a1. n

2º CASO

Se q ≠ 1, a P.G. não é constante. Seja a soma de seus termos:

Atividades resolvidas

2.5.6 Soma dos termos de uma P.G. infinita

2.5.7 Exercícios