[Vol. 1] Capítulo 03 - Função quadrática

[Vol. 1] Capítulo 03 - Função quadrática

- agosto 29, 2022

1.0 Definição

É uma função do tipo:

f: R --> R, definida por

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x) = ax^{2}+bx+c$

com a, b, c reais e a ≠ 0

1.1 Exemplos

2.0 Gráfico de uma função quadrática

Para construir o gráfico, faremos tal como fizemos na função de 1º grau: atribuímos um valor para x, colocamos na função, esta nos entrega um valor para y. Façamos isso por meio de uma tabela:

a) O gráfico para

b) O gráfico para

OBS.: Se a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima; se a < 0, a concavidade é voltada para baixo.

2.1 Atividades Resolvidas

3.0 Zeros (ou raízes) da função quadrática

Os números reais x tais que f(x) = 0 são ditos raízes ou zeros da equação quadrática. Em outras palavras, as raízes são os valores de x para os quais y = 0, ou ainda, as soluções (se existirem) da equação ax² + bx + c = 0. Observe a demonstração:

$f(x)=0$

$ax^2+bx+c=0$

$a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=0$

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$

Perceba que o lado esquerdo da igualdade é um trinômio de quadrado perfeito, e no lado direito faremos a subtração de frações tirando o M.M.C:

$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

Extraindo a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade, temos:

$x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

$x=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}$

Reorganizando:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Você pode fazer por partes (acredito que ajude no processo de fixação) e chamar de "Delta" o termo dentro da raiz, observe:

$\Delta =b^2-4ac$

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$

Eis a fórmula resolutiva de Bhaskara.

3.1 Casos particulares

1º caso: b = 0

$https://latex.codecogs.com/svg.image?ax^{2}+c=0$

Exemplo:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}-49=0\\\\x^{2}=49\\\\x=\pm \sqrt{49}\\\\x=\pm 7$

2º caso: c = 0

$https://latex.codecogs.com/svg.image?ax^{2}+bx=0$

Exemplo:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2x^{2}+6x=0\\\\x(x+6) =0\\\\x = 0\\ou\\x+6=0\\\\x = -6$

3º caso: b = 0 e c = 0

$https://latex.codecogs.com/svg.image?ax^{2}=0$

Exemplo:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?3x^{2}=0\\\\x^{2}=0 \\\\x=\pm \sqrt{0} \\\\x = 0$

OBS.:

3.2 Soma e produto (relações de Girard)

4.0 Forma fatorada

5.0 Vértice da parábola

6.0 Exercícios

7.0 Mínimo e Máximo da função quadrática

A função terá valor máximo quando a < 0, e valor mínimo quando a > 0.

8.0 Imagem da função quadrática

O conjunto imagem são todos os valores que y assume. Para isso, sempre teremos que analisar o Yv (a coordenada y do vértice)

Exercícios

9.0 Estudo do sinal de uma função quadrática

10.0 Inequações do 2º grau

Vamos começar com um exemplo:

10.1 Atividades resolvidas

Exercícios

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